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参数方程求曲率公式推导

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-11 04:37:01 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

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参数方程求曲率公式推导(1)

  曲率是描述曲线弯曲程度的量,是微积分中的重要概念Smk。在计算曲线的曲率时,我们可以使用参数方程来求解。本文将介绍参数方程求曲率公式的推导过程小 松 公 式 网

一、曲率的定义

  曲率是描述曲线弯曲程度的量,表示曲线在处的弯曲程度大小。曲线的曲率越大,表示曲线的弯曲程度越大小松公式网www.chcoke.com

  在二维面上,曲线的曲率可以用以下公式来计算:

  $$\kappa = \frac{|\frac{d\vec{T}}{ds}|}{ds}$$

  其中,$\vec{T}$表示曲线的切向量,$s$表示曲线的弧长,$\frac{d\vec{T}}{ds}$表示切向量的导数。

二、参数方程求曲率公式的推导过程

  假设曲线的参数方程

  $$x=f(t)$$

$$y=g(t)$$

  曲线的切向量可以表示

$$\vec{T}=\frac{d\vec{r}}{ds}=\frac{dx}{ds}\vec{i}+\frac{dy}{ds}\vec{j}$$

其中,$\vec{r}$表示曲线上的位置向量,$\vec{i}$和$\vec{j}$分别表示$x$轴和$y$轴的单位向量小~松~公~式~网

  我们可以将$\frac{dx}{ds}$和$\frac{dy}{ds}$表示

  $$\frac{dx}{ds}=\frac{dx}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{dx}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}$$

$$\frac{dy}{ds}=\frac{dy}{dt}\frac{dt}{ds}=\frac{dy}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}$$

  将$\frac{dx}{ds}$和$\frac{dy}{ds}$代入切向量的公式中,得到:

  $$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}\vec{j}$$

  曲线的弧长可以表示

  $$s=\int_{t_0}^{t}\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}dt$$

  对$s$求导,得到:

  $$\frac{ds}{dt}=\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}$$

  将$\frac{ds}{dt}$代入切向量的公式中,得到:

  $$\vec{T}=\frac{dx}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\vec{i}+\frac{dy}{dt}\frac{1}{\frac{ds}{dt}}\vec{j}$$

  将$\vec{T}$代入曲率的公式中,得到:

  $$\kappa=\frac{|\frac{d\vec{T}}{ds}|}{ds}=\frac{|\frac{d\vec{T}}{dt}|}{\frac{ds}{dt}}=\frac{|\frac{d}{dt}(\frac{dx}{ds}\vec{i}+\frac{dy}{ds}\vec{j})|}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}$$

  对$\frac{dx}{ds}$和$\frac{dy}{ds}$求导,得到:

  $$\frac{d}{dt}(\frac{dx}{ds})=\frac{d}{dt}(\frac{dx}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}})=\frac{d^2x}{dt^2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}-\frac{(\frac{dx}{dt})^2}{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\frac{d}{dt}(\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}})$$

$$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{ds})=\frac{d}{dt}(\frac{dy}{dt}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}})=\frac{d^2y}{dt^2}\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}}-\frac{(\frac{dy}{dt})^2}{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}\frac{d}{dt}(\frac{1}{\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}})$$

  将$\frac{d}{dt}(\frac{dx}{ds})$和$\frac{d}{dt}(\frac{dy}{ds})$代入曲率的公式中,得到:

  $$\kappa=\frac{|\frac{d\vec{T}}{ds}|}{ds}=\frac{\sqrt{(\frac{d^2x}{dt^2}\frac{dy}{dt}-\frac{dx}{dt}\frac{d^2y}{dt^2})^2+(\frac{d^2y}{dt^2}\frac{dx}{dt}-\frac{dy}{dt}\frac{d^2x}{dt^2})^2}}{(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2}$$

参数方程求曲率的公式。

参数方程求曲率公式推导(2)

三、总结

本文介绍参数方程求曲率公式的推导过程小+松+公+式+网。通过使用参数方程,我们可以方便地计算曲线在处的曲率,从而更好地理解曲线的和特征。

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