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导数与微分公式大全:从基础到高阶

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-11 19:31:03 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

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导数与微分公式大全:从基础到高阶(1)

  导数和微分是高数学中的重要概念,也是应用数学中常用的工具欢迎www.chcoke.com。导数和微分的概念和公式是学习高数学的基础,对于学习微积分、微分方程高阶数学知识也非常重要。本文将导数和微分的基本概念和公式,以及一些高阶的导数和微分公式。

一、导数的定义和基本公式

导数是函数在某一点处的变化率,它述了函数在该点处的瞬时变化情况。导数的定义下:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

中,$\Delta x$表示自变$x$的增,$\Delta x\rightarrow 0$表示$\Delta x$趋近于0。导数$f'(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的瞬时变化率。

导数的基本公式下:

  1. 常数函数的导数为0,$\frac{d}{dx}c=0$。

  2. 幂函数的导数为$kx^{k-1}$,$\frac{d}{dx}x^k=kx^{k-1}$。

  3. 指数函数的导数为$e^x$,$\frac{d}{dx}e^x=e^x$小_松_公_式_网

  4. 对数函数的导数为$\frac{1}{x}$,$\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}$。

  5. 正函数的导数为余函数,$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$。

  6. 余函数的导数为负的正函数,$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$。

7. 正切函数的导数为$\frac{1}{\cos^2x}$,$\frac{d}{dx}\tan x=\frac{1}{\cos^2x}$。

二、微分的定义和基本公式

  微分是导数的一种式化表达,它表示函数在某一点处的局部线性近似。微分的定义下:

$$df(x)=f'(x)dx$$

  中,$dx$表示自变$x$的微小增,$df(x)$表示函数$f(x)$在$x$处的微小增

微分的基本公式下:

  1. 常数函数的微分为0,$d(c)=0$。

2. 幂函数的微分为$kx^{k-1}dx$,$d(x^k)=kx^{k-1}dx$欢迎www.chcoke.com

3. 指数函数的微分为$e^xdx$,$d(e^x)=e^xdx$。

4. 对数函数的微分为$\frac{1}{x}dx$,$d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$。

5. 正函数的微分为$\cos xdx$,$d(\sin x)=\cos xdx$。

  6. 余函数的微分为$-\sin xdx$,$d(\cos x)=-\sin xdx$。

  7. 正切函数的微分为$\frac{1}{\cos^2x}dx$,$d(\tan x)=\frac{1}{\cos^2x}dx$。

导数与微分公式大全:从基础到高阶(2)

三、高阶导数和微分公式

高阶导数和微分是导数和微分的进一步推广,它们述了函数在某一点处的更加精细的变化情况。高阶导数和微分的公式下:

  1. 高阶导数公式

  函数$f(x)$的$n$阶导数为$f^{(n)}(x)$,它的定义下:

$$f^{(n)}(x)=\frac{d^n}{dx^n}f(x)$$

  中,$n$表示导数的阶数。高阶导数公式下:

  (1)常数函数的$n$阶导数为0,$\frac{d^n}{dx^n}c=0$欢迎www.chcoke.com

  (2)幂函数的$n$阶导数为$k(k-1)(k-2)...(k-n+1)x^{k-n}$,$\frac{d^n}{dx^n}x^k=k(k-1)(k-2)...(k-n+1)x^{k-n}$。

  (3)指数函数的$n$阶导数为$e^x$,$\frac{d^n}{dx^n}e^x=e^x$。

  (4)对数函数的$n$阶导数为$(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n}$,$\frac{d^n}{dx^n}\ln x=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n}$。

(5)正函数的$n$阶导数为$\sin(x+n\frac{\pi}{2})$,$\frac{d^n}{dx^n}\sin x=\sin(x+n\frac{\pi}{2})$。

  (6)余函数的$n$阶导数为$\cos(x+n\frac{\pi}{2})$,$\frac{d^n}{dx^n}\cos x=\cos(x+n\frac{\pi}{2})$。

  (7)正切函数的$n$阶导数为$(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}\cos(2nx)$,中$B_{2n}$为伯努利数,$\frac{d^n}{dx^n}\tan x=(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}\cos(2nx)$。

2. 高阶微分公式

  函数$f(x)$的$n$阶微分为$d^nf(x)$,它的定义下:

$$d^nf(x)=f^{(n)}(x)dx^n$$

  中,$dx^n$表示自变$x$的$n$微小增。高阶微分公式下:

  (1)常数函数的$n$阶微分为0,$d^n(c)=0$小.松.公.式.网

  (2)幂函数的$n$阶微分为$k(k-1)(k-2)...(k-n+1)x^{k-n}dx^n$,$d^n(x^k)=k(k-1)(k-2)...(k-n+1)x^{k-n}dx^n$。

  (3)指数函数的$n$阶微分为$e^xdx^n$,$d^n(e^x)=e^xdx^n$。

  (4)对数函数的$n$阶微分为$(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n}dx^n$,$d^n(\ln x)=(-1)^{n-1}(n-1)!\frac{1}{x^n}dx^n$。

  (5)正函数的$n$阶微分为$\cos(x+n\frac{\pi}{2})dx^n$,$d^n(\sin x)=\cos(x+n\frac{\pi}{2})dx^n$。

  (6)余函数的$n$阶微分为$(-1)^n\sin(x+n\frac{\pi}{2})dx^n$,$d^n(\cos x)=(-1)^n\sin(x+n\frac{\pi}{2})dx^n$。

(7)正切函数的$n$阶微分为$(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}\cos(2nx)dx^n$,中$B_{2n}$为伯努利数,$d^n(\tan x)=(-1)^{n-1}2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}\cos(2nx)dx^n$。

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