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求导公式的推导及其应用

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-10 08:18:58 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

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求导公式的推导及其应用(1)

  求导公式是微积分中的重要概念,它是计算函在某点处的导的基础小松公式网。本文将介绍如何推导求导公式,并探讨其在实际应用中的作用。

求导公式的推导及其应用(1)

一、求导公式的推导

求导公式的推导基于极限的概念。假设函$f(x)$在$x_0$处可导,则$f(x)$在$x_0$处的导为:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

  将$f(x_0+h)$用泰勒公式展开,得到:

$$f(x_0+h)=f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+\cdots$$

  代入上式,得到:

  $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0)+hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+\cdots-f(x_0)}{h}$$

  化后得到:

  $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{hf'(x_0)+\frac{h^2}{2}f''(x_0)+\cdots}{h}$$

去掉分子中的$h$,得到:

  $$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}(f'(x_0)+\frac{h}{2}f''(x_0)+\cdots)$$

  因为$h$近于0,所以$\frac{h}{2}f''(x_0)+\cdots$可以忽不计小 松 公 式 网。因此,我们得到了求导公式:

$$f'(x_0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$$

二、求导公式的应用

求导公式在微积分中有着广泛的应用。以下是一些常见的应用场景:

1. 求函的最值

  求函的最值需要先求出函的导,然后令导等于0,解出函的极值点,再通过二阶导判断这些极值点是极大值是极小值。例如,对于函$f(x)=x^3-3x^2+2$,我们可以先求出它的导$f'(x)=3x^2-6x$,令$f'(x)=0$,解得$x=0$$x=2$小+松+公+式+网。然后,我们可以通过$f''(x)$的负性判断$x=0$是极小值,$x=2$是极大值。

  2. 求函的图像

  通过求导公式,我们可以得到函在某点处的切斜率。因此,我们可以通过求导的方法来绘制函的图像chcoke.com。例如,对于函$f(x)=x^2$,我们可以求出它在$x=1$处的导$f'(1)=2$,这意味着在$x=1$处的切斜率为2。因此,我们可以在$(1,1)$处绘制一条斜率为2的直作为切,这样就可以得到函$f(x)=x^2$在$x=1$处的图像。

3. 求函的变化率

  函的导可以表在某点处的变化率小 松 公 式 网。因此,我们可以通过求导的方法来研究函的变化情。例如,对于函$f(x)=x^3$,我们可以求出它在$x=2$处的导$f'(2)=12$,这意味着在$x=2$处,函的变化率为12。因此,我们可以得出结论,当$x$增加1个单位时,函$f(x)$在$x=2$处的增加量为12Smk

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