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初等函数导数公式推导

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-09 19:44:42 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

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初等函数导数公式推导(1)

  初等函数的导数公式是求导的础,们是我们学习微积分的重要内容之一来源www.chcoke.com。本文将导数的定义出推导出常见初等函数的导数公式。

一、导数的定义

导数是描述函数变化率的数学Smk。对于函数 $y=f(x)$,在 $x_0$ 处的导数定义为:

$$f'(x_0)=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$

其中,$\Delta x$ 表示 $x$ 在 $x_0$ 处的增。导数 $f'(x_0)$ 表示函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的变化率,也可以理解为函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的切线斜率小~松~公~式~网

二、常数函数的导数

  对于常数函数 $y=c$,的导数为:

$$\frac{d}{dx}c=0$$

证明:

  $$\frac{d}{dx}c=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{c-c}{\Delta x}=0$$

因为常数函数在任意点处的导数都是 $0$,所以常数函数的导数恒为 $0$。

三、幂函数的导数

  对于幂函数 $y=x^n$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$$

  证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}x^n&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sum_{k=0}^nC_n^kx^k(\Delta x)^{n-k}-x^n}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\sum_{k=1}^nC_n^kx^{k-1}(\Delta x)^{n-k}\\ &=nx^{n-1} \end{aligned}$$

  因为幂函数在任意点处的导数都可以用上述公式表示,所以幂函数的导数公式成立欢迎www.chcoke.com

初等函数导数公式推导(2)

四、指数函数的导数

  对于指数函数 $y=a^x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}a^x=a^x\ln a$$

  证明:

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}a^x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{x+\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^x\cdot a^{\Delta x}-a^x}{\Delta x}\\ &=a^x\lim_{\Delta x\to 0}\frac{a^{\Delta x}-1}{\Delta x}\\ &=a^x\ln a \end{aligned}$$

  因为指数函数在任意点处的导数都可以用上述公式表示,所以指数函数的导数公式成立。

五、对数函数的导数

对于对数函数 $y=\log_a x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\log_a x=\frac{1}{x\ln a}$$

证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\log_a x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\log_a(x+\Delta x)-\log_a x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\ln(x+\Delta x)-\ln x}{\ln a\cdot\Delta x}\\ &=\frac{1}{x\ln a} \end{aligned}$$

因为对数函数在任意点处的导数都可以用上述公式表示,所以对数函数的导数公式成立小_松_公_式_网

六、三角函数的导数

  对于正函数 $y=\sin x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\sin x=\cos x$$

证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\sin x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{2\cos\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\cos\frac{2x+\Delta x}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\ &=\cos x \end{aligned}$$

  对于余函数 $y=\cos x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\cos x=-\sin x$$

证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cos x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cos(x+\Delta x)-\cos x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{-2\sin\frac{x+\Delta x+x}{2}\sin\frac{\Delta x}{2}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}-\sin\frac{2x+\Delta x}{2}\cdot\frac{\sin\frac{\Delta x}{2}}{\frac{\Delta x}{2}}\\ &=-\sin x \end{aligned}$$

  对于正切函数 $y=\tan x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\tan x=\sec^2 x$$

  证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\tan x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\tan(x+\Delta x)-\tan x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{\sin(x+\Delta x)-\sin x}{\cos(x+\Delta x)\cos x}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\sin\Delta x}{\Delta x\cos(x+\Delta x)\cos x}\\ &=\frac{1}{\cos^2 x} \end{aligned}$$

  对于余切函数 $y=\cot x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\cot x=-\csc^2 x$$

证明:

$$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\cot x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\cot(x+\Delta x)-\cot x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\frac{1}{\tan(x+\Delta x)}-\frac{1}{\tan x}}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}-\frac{\tan x-\tan(x+\Delta x)}{\Delta x\cdot\tan(x+\Delta x)\cdot\tan x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}-\frac{\sin\Delta x}{\Delta x\cdot\sin x\cdot\sin(x+\Delta x)}\\ &=-\frac{1}{\sin^2 x} \end{aligned}$$

  因为三角函数在任意点处的导数都可以用上述公式表示,所以三角函数的导数公式成立。

初等函数导数公式推导(3)

七、反三角函数的导数

  对于反正函数 $y=\arcsin x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx}\arcsin x=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

  证明:

  $$\begin{aligned} \frac{d}{dx}\arcsin x&=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x}{\Delta x}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\arcsin(x+\Delta x)-\arcsin x}{\sin(\arcsin(x+\Delta x))-\sin(\arcsin x)}\\ &=\lim_{\Delta x\to 0}\frac{\Delta x}{\sqrt{1-(x+\Delta x)^2}-\sqrt{1-x^2}}\\ &=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{aligned}$$

  对于反余函数 $y=\arccos x$,的导数为:

  $$\frac{d}{dx

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