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概率论三大分布公式推导

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-09 08:12:53 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

概率论三大分布公式推导(1)

概率论基础知识

  概率论究随机件发生的规律性和统规律性的数学分支www.chcoke.com。在概率论中,三个重要的分布公式,分别正态分布、泊松分布和指数分布。这些分布公式在统学、金融学、理学、工程学等领域中都广泛的应用。在本文中,我们将介绍这三个分布公式的推导过程小~松~公~式~网

概率论三大分布公式推导(2)

正态分布公式的推导

正态分布一种连续型概率分布,也称为高斯分布。正态分布的概率密度函数为:

  $$

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

  其中,$\mu$ 为均值,$\sigma$ 为标准差。正态分布的期望值为 $\mu$,方差为 $\sigma^2$www.chcoke.com

  正态分布公式的推导过程如下:

假设 $X$ 一个服从正态分布的随机量,其概率密度函数为:

  $$

f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

$$

  我们需要证明:

  $$

\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1

  $$

首先,将 $f(x)$ 中的 $e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}$ 部分量代

  $$

  y = \frac{x-\mu}{\sigma}

  $$

  则

  $$

x = \sigma y + \mu

  $$

  并且:

  $$

  dx = \sigma dy

  $$

  将 $x$ 和 $dx$ 用 $y$ 和 $dy$ 表示,得到:

  $$

f(x)dx = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy

$$

  因此,我们需要证明:

  $$

  \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = 1

  $$

一个标准的高斯积分,可以通过元法将其转化为极坐标系下的二重积分:

$$

  \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{r^2}{2}}r d\theta dr

  $$

然后,我们可以使用极坐标下的高斯积分公式:

  $$

\int_{0}^{\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}r dr = \frac{\sqrt{2\pi}}{2}

  $$

将其代入原式,得到:

$$

  \int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{y^2}{2}}dy = \int_{0}^{\infty}\int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{r^2}{2}}r d\theta dr = \int_{0}^{\infty}e^{-\frac{r^2}{2}}r dr \int_{0}^{2\pi}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}d\theta = 1

  $$

因此,正态分布的概率密度函数满足归一化条件。

泊松分布公式的推导

泊松分布一种离散型概率分布,用于述单位时间内随机件发生次数的概率分布。泊松分布的概率函数为:

  $$

  P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

$$

  其中,$k$ 表示件发生的次数,$\lambda$ 表示单位时间内件发生的平均次数小松公式网www.chcoke.com

  泊松分布公式的推导过程如下:

  假设 $X$ 一个服从泊松分布的随机量,其概率函数为:

  $$

P(X=k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}

$$

我们需要证明:

  $$

  \sum_{k=0}^{\infty}P(X=k) = 1

$$

  根据指数函数的泰勒展开式:

$$

  e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}

$$

  将 $x=-\lambda$ 代入上式,得到:

$$

  e^{-\lambda} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-\lambda)^n}{n!}

  $$

  因此,泊松分布的概率函数可以表示为:

$$

  P(X=k) = \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\frac{\lambda^k}{k!} = e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}\delta_{n,k}

  $$

  其中,$\delta_{n,k}$ 表示克罗内克 δ 函数,当 $n=k$ 时为 1,否则为 0。

  因此,我们可以得到:

  $$

  \sum_{k=0}^{\infty}P(X=k) = \sum_{k=0}^{\infty}e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}\delta_{n,k} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda}\sum_{k=0}^{\infty}\delta_{n,k} = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!}e^{-\lambda} = e^{-\lambda}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{\lambda^n}{n!} = e^{-\lambda}e^{\lambda} = 1

$$

因此,泊松分布的概率函数满足归一化条件。

概率论三大分布公式推导(3)

指数分布公式的推导

指数分布一种连续型概率分布,用于述随机件发生的时间间隔的概率分布小 松 公 式 网。指数分布的概率密度函数为:

$$

  f(x) = \begin{cases}

  \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\

  0, & x < 0

  \end{cases}

$$

  其中,$\lambda$ 表示件发生的频率。

  指数分布公式的推导过程如下:

  假设 $X$ 一个服从指数分布的随机量,其概率密度函数为:

$$

f(x) = \begin{cases}

  \lambda e^{-\lambda x}, & x \geq 0 \\

  0, & x < 0

  \end{cases}

  $$

我们需要证明:

  $$

  \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = 1

  $$

  因为 $f(x)$ 在 $x<0$ 时等于 0,所以可以将积分区间从 $-\infty$ 改为 $0$:

$$

  \int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx = \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx

  $$

  对右侧的积分式进行量代

$$

y = \lambda x

  $$

  则

  $$

  x = \frac{y}{\lambda}

  $$

  并且:

  $$

  dx = \frac{1}{\lambda}dy

  $$

  将 $x$ 和 $dx$ 用 $y$ 和 $dy$ 表示,得到:

  $$

  \int_{0}^{\infty}\lambda e^{-\lambda x}dx = \int_{0}^{\infty}e^{-y}dy = 1

  $$

因此,指数分布的概率密度函数满足归一化条件。

结论

本文介绍了概率论中三个重要的分布公式的推导过程,分别正态分布、泊松分布和指数分布小_松_公_式_网。这些分布公式在实际应用中广泛的应用,能够帮助我们更好地理解随机件的规律性和统规律性。

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