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幂函数的导数公式推导

来源:www.chcoke.com 时间:2024-06-09 01:53:27 作者:小松公式网 浏览: [手机版]

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幂函数的导数公式推导(1)

  幂函数是数学一种基本的函数式,其式为 $f(x) = x^n$,其 $n$ 为常数小~松~公~式~网。在实际问题,幂函数往往出现得非常频繁,此求解幂函数的导数公式具有重要的意义。

  本从幂函数的定义出发,推导幂函数的导数公式,并给出一些实际问题幂函数的应用示例chcoke.com

幂函数的定义

  幂函数是一种函数式,其定义为 $f(x) = x^n$,其 $n$ 为常数。当 $n$ 为正整数时,幂函数表示 $x$ 的 $n$ 次幂;当 $n$ 为负整数时,幂函数表示 $x$ 的 $n$ 次倒数;当 $n$ 为分数时,幂函数表示 $x$ 的 $n$ 次方根NDK

幂函数的导数公式推导(2)

幂函数的导数

根据导数的定义,幂函数的导数为:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

  幂函数的定义代入上式,得到:

$$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{(x+\Delta x)^n-x^n}{\Delta x}$$

   $(x+\Delta x)^n$ 展开,得到:

  $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{x^n+n\cdot x^{n-1}\cdot\Delta x+\cdots+\Delta x^n-x^n}{\Delta x}$$

  化上式,得到:

  $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{n\cdot x^{n-1}\cdot\Delta x+\cdots+\Delta x^n}{\Delta x}$$

  上式的 $\Delta x$ 提取出来,得到:

  $$f'(x)=\lim_{\Delta x\to 0} n\cdot x^{n-1}+\cdots+\Delta x^{n-1}$$

  由于 $\Delta x$ 趋于 $0$,此 $\Delta x^{n-1}$ 趋于 $0$,此上式可以化为:

  $$f'(x)=n\cdot x^{n-1}$$

此,幂函数的导数公式为:

$$\frac{d}{dx} x^n = n\cdot x^{n-1}$$

幂函数的导数公式推导(3)

幂函数的应用示例

  幂函数在实际问题具有广泛的应用。以下是一些幂函数的应用示例:

1. 面积和体积计:例如计圆的面积和球的体积时,需要使用幂函数来源www.chcoke.com

2. 金融计:例如计复利时,需要使用幂函数。

  3. 理学计:例如计体的速度、加速度时,需要使用幂函数来源www.chcoke.com

  4. 生学计:例如计种群的增长率时,需要使用幂函数。

结论

  本从幂函数的定义出发,推导了幂函数的导数公式,并给出了一些幂函数的应用示例小 松 公 式 网。幂函数作为数学一种基本的函数式,其导数公式具有广泛的应用价值。

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